Définition d'un sous-espace vectoriel
\(\triangleright\) Définition d'un sous-espace vectoriel:
Un sous-ensembe \(F\subset E\), s'appelle un sous-espace de \(E\) (\(F\lt E\)) si:- \(F\neq \not 0\)
- \(\forall u,v \in F | u+v\in F\)
- \(\forall u\in F,\forall\lambda\in \Bbb R|\lambda u \in F\)
Remarque:
\(F\) est aussi un espace vectorielle
\(\triangleright\) Description vectorielle d'un sous-espace:
Soit \(\{(x,y,z)|2x+y-3z=0\}\)- \(x=-\frac 12y+\frac 32z\) avec \(y,z\in \Bbb R\)
\((x,y,z)=(-\frac 12y+\frac 32z, y, z)=y(-\frac 12,0)+z(\frac 32,0,1)=P(\vec u,\vec v,0)\)
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- \(y=-2x+3z\)
\((x,y,z)=(x,2x+3z,z)=x(1,-2,0)+z(0,3,1)=P(\vec u',\vec v',0)\)
\(\triangleright\) Sous-espace:
\(\longrightarrow\) \(F\subset E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si :- \(F\neq 0\)
- \(\forall u,v\in F\), \(u+v\in F\)
- \(\forall u\in F\), \(\forall \lambda \in \Bbb R\), \(\lambda u\in F\)
Exemples:- \(\{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ 0\end{pmatrix}, x_1,x_2\in \Bbb R\}\lt \Bbb R^3\)
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